О $K$-пополнении нормированных и линейных топологических структур

Пусть $X$ – $KT$-линеал, в котором выполнены условия: $(A')$: если $x_\alpha\downarrow0$ ($\alpha\in A$), то $\|x_\alpha\|\overset{(o)}\to0$ для любого $\xi\in\Xi$;
$(B')$: если $x_\beta\uparrow+\infty$ ($\beta\in B$, $x_\beta\geq0$), то $\|x_\beta\|\to\infty$ по крайней мере для одного из значений $\xi\in\Xi$. Доказывается теорема: если в $KT$-линеале $X$ выполнены условия $(A')$ и $(B')$, то эти же условия выполнены в $K$-пополнении $\widehat{X}$ этого $KT$-линеала. Из этой теоремы следует, что $K$-пополнение $KT$-линеала с условиями $(A')$ и $(B')$ является топологически полным $KT$ -пространством.
В частности, указывается, что если $X$ – $KT$-линеал, в котором выполнены условия $(A)$, $(B)$ и $(o)$ (если $x_n\overset{(o)}\to x$ в $K$-пространстве $X$, где $x_n\in X$, $x\in X$, то $x_n\overset{(o)}\to x$ и в $K$-линеале $X$ в смысле определения $(o)$-сходимости для последовательности), то его $K$-пополнение является $KB$-пространством.