Бимногообразия в категориях

Неопределяемые понятия и условия на категорию $\mathfrak{K}$ см. РЖ Мат., 1965, 5А249. Многообразие $\mathfrak{B}$ категории $\mathfrak{K}$ называется бимногообразием, если оно замкнуто относительно свободных произведений и для каждого объекта $A\in\mathfrak{K}$ и любого его $\mathfrak{B}$-подобъекта $[U,\sigma]$, т. е. $U\in\mathfrak{B}$, минимальный идеал объекта $A$, порожденный подобъектом $[U,\sigma]$, является $\mathfrak{B}$-идеалом. В достаточно широком классе абелевых категорий, включающем категории модулей над ассоциативными кольцами, каждое многообразие является бимногообразием. Существует взаимно однозначное соответствие между всеми бимногообразиями категории $\mathfrak{K}$ и всеми такими парами $((\theta,R),(S,\mu))$, состоящими из нормального подфунктора $(S,\mu)$ и нормального факторфунктора $(\theta,R)$ тождественного функтора $I_{\mathfrak{K}}$ категории $\mathfrak{K}$, что функтор $R$ сопряжен слева функтору $S$. Таким образом, с каждым бимногообразием $\mathfrak{B}$ связаны два нормальных подфунктора $(S,\mu)$ и $(V,\sigma)$ и два нормальных факторфунктора $(\theta,R)$ и $(\delta,P)$ тождественного функтора $I_{\mathfrak{K}}$ ($V$, $\sigma$ – ядро нормального факторфунктора $(\theta,R)$, а $(\delta,P)$ – коядро нормального подфунктора $(S,\mu)$), каждый из которых однозначно определяет три остальные. $(V,\sigma)$ и $(\delta,P)$ называются соответственно подфунктором и факторфунктором бимногообразия $\mathfrak{B}$. Нормальный факторфунктор $(\delta,P)$ функтора $I_{\mathfrak{K}}$ тогда и только тогда является факторфунктором некоторого бимногообразия, когда функтор $P$ переводит мономорфизмы в мономорфизмы и прямые произведения в специальные подпрямые суммы. Из полученных результатов вытекает, в частности, что если $(S,\mu)$ – подфунктор тождественного функтора $I_{\mathfrak{K}}$ полный локально малой абелевой категории $\mathfrak{A}$, то для функтора $S$ существует сопряженный слева функтор тогда и только тогда, когда $S$ перестановочен с обратными пределами.
Совокупность $B(\mathfrak{K})$ всех бимногообразий категории $\mathfrak{K}$ образует подполугруппу с нулем и единицей (состоящую, быть может, не из множества, а из класса элементов) в группоиде всех многообразий категории $\mathfrak{K}$ и полную полуструктуру относительно пересечений. Операции умножения пары бимногообразий и пересечения любого множества бимногообразий связаны левой и правой дистрибутивностью. Частично упорядоченная полугруппа $B(\mathfrak{K})$ антиизоморфна частично упорядоченной полугруппе бимногообразий. Каждый идеал коммутативной полугруппы $H(I_{\mathfrak{K}})$ естественных преобразований тождественного функтора $I_{\mathfrak{K}}$ в себя индуцирует бимногообразие категории $\mathfrak{K}$, принадлежащее центру полугруппы $B(\mathfrak{K})$. Этим определяется гомоморфизм полугруппы $\Pi(\mathfrak{K})$ идеалов полугруппы $H(I_{\mathfrak{K}})$ в центр полугруппы $B(\mathfrak{K})$.