О квазифробениусовости полугрупповой алгебры конечной регулярной полугруппы

Пусть $\mathfrak{G}$ – конечная регулярная полугруппа. Тогда факторы двусторонне-идеального композиционного ряда $\mathfrak{G}$ – вполне простые полугруппы. Пусть $\bar{\mathfrak{G}}_i$ – такой фактор. Как вполне простая полугруппа, он определяется заданием группы $\mathfrak{G}_i$ и матрицы $P_i$ (вообще говоря, прямоугольной), элементами которой являются либо нули, либо элементы $\mathfrak{G}_i$. Если $K$ – поле, то можно считать, что $P_i$ – матрица над групповой алгеброй $K\mathfrak{G}_i$. О квадратной матрице $P_i$ скажем, что она обратима, если $P_i$ обратима в соответствующем полном кольце матриц над $K\mathfrak{G}_i$. О понятиях квазифробениусовости, фробениусовости и симметрии алгебр см. Curtis С. W., Reiner I., Representation theory of finite groups and associative algebras, New York – London, 1962.
Работа посвящена доказательству теоремы:
1) полугрупповая алгебра $K\mathfrak{G}$ конечной регулярной полугруппы $\mathfrak{G}$ над полем $K$ квазифробениусова тогда и только тогда, когда определяющие матрицы всех факторов двустороннеидеального композиционного ряда $\mathfrak{G}$ квадратны и обратимы;
2) если $K\mathfrak{G}$ ($K\mathfrak{G}$ те же, что и в 1) квазифробениусова, то $K\mathfrak{G}$ симметрична, так что в классе полугрупповых алгебр конечных регулярных полугрупп над полями понятия квазифробениусовости, фробениусовости и симметричности совпадают;
3) если $p$ – характеристика поля $K$, $\mathfrak{G}$ то же, что и в 1), и имеет место импликация: $X\in\mathfrak{G}$. $X^{p+1}=X\Rightarrow X^2=X$, то из квазифробениусовости $K\mathfrak{G}$ следует полупростота $K\mathfrak{G}$, так что в классе таких полугрупповых алгебр совпадают понятия квазифробениусовости, фробениусовости, симметричности и полупростоты.