Об одной задаче де Гроота и топологической теореме рамсеевского типа

В работе доказано при некоторых предположениях теории множеств (“обобщенная континуум-гипотеза” + “гипотеза ветвления”), что мощность всех открытых подмножеств бикомпактного хаусдорфова пространства всегда является степенью двойки, что является решением задачи, поставленной голландским математиком де Гроотом. Далее дается топологическое доказательство следующей теоремы рамсеевского типа. Пусть $X$ – хаусдорфово пространство, причем $\chi(x,X)\le\mathfrak{n}$ для каждой точки $x\in X$. Если $\operatorname{card}X>2\mathfrak{n}$, то $X$ содержит семейство $\mathfrak{B}$, состоящее из попарно непересекающихся открытых множеств, причем $\operatorname{card}\mathfrak{B}>\mathfrak{n}$. Наконец, доказано, что мощность любого бесконечного однородного бикомпакта является допустимым кардинальным числом, т. е. $(\operatorname{card}X)\aleph_0$.