О сходимости последовательности линейных непрерывных отображений аналитических пространств

Даются необходимые и достаточные условия сходимости последовательности $\{A_nf\}$ в аналитическом пространстве для всех $f$ другого такого пространства ($A_n$ – линейные непрерывные отображения). В случае круга имеем:
Теорема. Пусть дана последовательность линейных операторов $A_n=[a^{(n)}_{ik}]$ ($n=1,2,\dots$), $A_nz^k=\sum\limits_i a^{(n)}_{ik}z^i$, непрерывно отображающих:
1) пространство $\mathfrak A_R$ аналитических функций в круге $|z|<R$ в $\mathfrak A_p$; 2) пространство $\mathfrak A_R$ в пространство $\overline{\mathfrak A}_P$ аналитических функций в замкнутом круге $|z|\leq P$; 3) пространство $\overline{\mathfrak A}_R$ в $\overline{\mathfrak A}_P$; 4) пространство $\overline{\mathfrak A}_R$ в $\mathfrak A_P$. Для того чтобы $\{A_nf\}$ сходилась, для каждого элемента соответствующего пространства необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
a) $\lim\limits_{n\to\infty}a^{(n)}_{ik}=a_{ik}\neq\infty$ ($i,k=0,1,\dots$); б) $|a_{ik}^{(n)}|\leq Cr^k\rho^{-i}$ ($i,k=0,1,\dots$; $n=1,2,\dots$) соответственно: 1) при каждом $\rho<P$, $r=r(\rho)<R$ и $C=(\rho)>0$; 2) для некоторых $\rho,r$ и $C$, $\rho>P$, $r<R$, $C>0$; 3) при каждом $r>R$, $\rho=\rho(r)>P$ и $C=C(r)>0$; 4) для всех $\rho$, $r$, $\rho<P$, $r>R$ и $C=C(r,\rho)>0$.
В качестве приложения выводятся условия сходимости в аналитических пространствах в круге ряда $\sum\limits_{k}a_k(z)y^{(k)}(z)$ для всех элементов $y(z)$ другого такого пространства.