Об единственности решения одной обратной задачи теории потенциала

Рассмотрена, представимая интегральным уравнением I рода, обратная задача теории ньютоновского потенциала, в которой ищется плотность масс, заключенных в объеме, ограниченном данной кусочно-гладкой поверхностью, и развивающих во внешнем пространстве (относительно указанной поверхности) известный потенциал. В связи с тем, что в такой общей постановке данная задача имеет неоднозначное решение, намечен новый подход к проблеме, согласно которому требуется установить дополнительные условия, обеспечивающие единственность решению рассматриваемого интегрального уравнения I рода. Доказана теорема, дающая один из вариантов таких дополнительных условий: Уравнение
$$ \int_\tau\frac{\delta(P)}{r_{QP}}\,d\tau_P=V(Q),\quad P\in\tau,\quad Q\notin\tau, $$
при заданной непрерывной функции $V(Q)$ имеет единственное решение $\delta(P)$ в классе непрерывных функций $C_\tau$ при условии дополнительного задания при любом $n\ge2$ ($n=p+q+r$) 1) либо таких $\frac12n(n-1)$ степенных моментов тела искомой плотности $J_{pqr}(\delta)=\int_\tau\delta x^py^qz^r\,d\tau$, в которых одночлены $x^py^qz^r$ негармонические; 2) либо таких $\frac12n(n-1)$ линейных зависимостей между моментами $n$-го порядка, при которых соответствующее соотношение между одночленами $x^py^qz^r$ представляет негармонический полином; 3) либо (при $n>2$) $\alpha$ первых и $\beta$ вторых, причем $\alpha+\beta=\frac12n(n-1)$.
Указанная дополнительная информация 1) – 3) должна быть таковой, чтобы, во-первых, получаемые при любом $n$ системы линейных уравнений относительно моментов имели бы отличные от нуля определители, и, во-вторых, находимые из этих систем величины $I_{pqr}$ удовлетворяли бы условиям разрешимости возникающей при этом проблемы моментов.