Ограниченность и компактность интегрального оператора на пространстве со смешанной нормой на поликруге

Изучается интегральный оператор вида
$$ T_g(f)(z)=\int\limits_0^{z_1}\dots\int\limits_0^{z_n}f(\zeta_1,\dots,\zeta_n)g(\zeta_1,\dots,\zeta_n)\,d\zeta_1\dots\zeta_n $$
на пространстве аналитических функций на единичном поликруге $U^n$ в $\mathbb C^n$. Доказано, что этот оператор ограничен в пространстве со смешанной нормой
$${\mathscr A}^{p,q}_\alpha(U^n)=\biggl\{f\in H(U^n)\mid\int\limits_{[0,1)^n}M_p^q(f,r)\prod_{j=1}^n(1-r_j)^{\alpha_j}\,dr_j<\infty\biggr\}, $$
где $p,q\in[1,\infty)$ и $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ таковы, что $\alpha_j>-1$ при любом $j=1,\dots,n$ тогда и только тогда, когда $\sup\limits_{z\in U^n}\prod\limits_{j=1}^n(1-|z_j|)|g(z)|<\infty$. Доказано также, что этот оператор компактен тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{z\to\partial U^n}\prod\limits_{j=1}^n(1-|z_j|)|g(z)|=0$.