Продолжаемые базисы в пространствах функции, аналитических в кратнокруговых областях

$\mathfrak R^n$ – множество всех ограниченных полных кратнокруговых логарифмически выпуклых областей $D\subset C^n$ с центром в нуле.
Решаются следующие задачи о продолжаемых базисах.
1. Пусть $\mathscr N\subset\mathfrak R^n$. Описать оболочку базисности $\mathscr B(\mathscr N)$ семейства $\mathscr N$, т.е. наиболее широкое из множеств $\mathscr B\subset\mathfrak R^n$, удовлетворяющих условию: если система $\{p_k(z)\}$ – базис в $A(D)$, $D\in\mathscr N$, то она является базисом и в $A(D)$, $D\in\mathscr B$.
2. Пусть $\mathscr P=\{p_k(z)\}$ – заданная система функций, аналитических в нуле. Описать район базисиости $\mathscr N(\mathscr P)$ системы $\mathscr P$, т.е. совокупность всех областей $D\in\mathfrak R^n$ таких, что система $\mathscr P$ – базис в $A(D)$.
3. Найти условия, при которых данная совокупность областей $\mathscr N\subset\mathfrak R^n$ является районом базисности для какой-либо системы функций $\mathscr P=\{p_k(z)\}$.
Следующая теорема, играющая в работе вспомогательную роль, представляет самостоятельный интерес.
Теорема. Пусть $K$ – замкнутая выпуклая подструктура в $C(Q)$, $Q$ – компакт. Тогда
$$ K=\{x\in C(Q):\gamma x(\alpha)-(1-\gamma)x(\beta)\leq\sigma(\alpha,\beta,\gamma),\alpha\in Q,\beta\in Q,\gamma\in[0,1]\}, $$
где $\sigma(\alpha,\beta,\gamma)=\sup\{\gamma x(\alpha)-(1-\gamma)x\beta:x\in K\}$.