|
Сибирский математический журнал, 1970, том 11, номер 2, страницы 381–406
(Mi smj5755)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)
Асимптотические разложения для функции распределения максимума сумм независимых одинаково распределенных
случайных величин
С. В. Нагаев
Аннотация:
Пусть $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения $F(x)$, с $M\xi=0$,
$D\xi_i=1$. Положим $\overline{S}_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}\sum\limits_{i=1}^k\xi_i$, $\overline{F}_n(x)=\operatorname{Pr}(\overline{S}_n<x)$, $\beta_\nu=M|\xi_1|^\nu$.
В статье получены асимптотические разложения для $\overline{F}_n(x)$.
Теорема. Пусть $\beta_s<\infty$, $s<3$, и $F(x)$ имеет абсолютно непрерывную
компоненту. Тогда
$$
\bar F_n(x\sqrt{n})=\Phi_1(x)+e^{-x^2/2}\sum_{\nu=1}^{s-3}\Pi_\nu(x)n^{-\nu/2}
+O(\min[n^{-1/2},(1+x^{1-s})n^{(2-s)\ln^2n}]),
$$
$x>0$.
Здесь $\displaystyle\Phi_1(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^xe^{-u^2/2}\,du$,
$\Pi_\nu(x)$ – некоторые полиномы, коэффициенты которых зависят от распределения $F(x)$.
Аналогичный результат имеет место, когда выполняется условие
$$
\varlimsup_{|t|\to\infty}|f(t)|<1,\quad\text{где}\quad
f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF(x).
$$
Статья поступила: 13.11.1969
Образец цитирования:
С. В. Нагаев, “Асимптотические разложения для функции распределения максимума сумм независимых одинаково распределенных
случайных величин”, Сиб. матем. журн., 11:2 (1970), 381–406; Siberian Math. J., 11:2 (1970), 288–309
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj5755 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v11/i2/p381
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 81 | PDF полного текста: | 35 |
|