Об оценках производных через дифференциальные операторы

Рассматриваются функции $f(x)=f(x_1,\dots,x_n)$, определенные на конечной области $\Omega$ некоторого класса с конечной нормой
$$ \bigl\|f,W^{\{P_i\}}_p(\Omega)\bigr\|= \sum_{j=1}^N\|P_j(s)f\|_{L_p(\Omega)}+\|f\|_{L_p(\Omega)} $$
где $P_j(s)$ ($j=1,\dots,N$) данные, вообще говоря неоднородные, дифференциальные операторы (многочлены). Рассматривается задача о нахождении множества целочисленных векторов $\nu=(\nu_1,\dots,\nu_n)$, $\nu_i\geq0$ ($i=1,\dots,n$), для которых выполняется неравенство
$$ \|D^\nu f\|_{L_p(\Omega)}\leq C\bigl\|f,W^{\{P_i\}}_p(\Omega)\bigr\| $$
для всех функций $f(x)\in W^{\{P_i\}}_p(\Omega)$.
Доказывается, что такая оценка возможна для всех точек $\nu\in\mathfrak R$, где $\mathfrak R$ наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки $\alpha$, участвующие в многочленах
$$ P_j(\xi)=\sum_{\alpha}\gamma_\alpha^j\xi^\alpha\quad (j=1,\dots,N), $$
если части характеристических многочленов, лежащие на гранях $\mathfrak R$ не имеют общего комплексного нуля вне координатных плоскостей. Устанавливается подобная оценка и для операторов с переменными коэффициентами $P_j(x,s)$ ($j=1,\dots,N$).