Некоторые метрические свойства $p$-адических чисел

Работа посвящена в основном перенесению в область $p$-адических чисел результатов построенной А. Я. Хинчиным для действительного случая метрической теории ценных дробей, с некоторыми усилениями и упрощениями, которые невозможны в действительном случае.
Для $p$-адического числа $x=\sum\limits_{i=-n}^\infty a_ip^i$ будем использовать запись $a_{-n}\dots a_{-1}a_0,a_1a_2\dots$, Обозначим через $X$ множество целых $p$-адических чисел, не являющихся делителями единицы, т.е. $p$-адических чисел вида $0,a_1a_2\dots$, а через $Y$ – множество $p$-адических чисел вида $a_{-n}\dots a_{-1}a_0,00\dots$. $X$ является компактной подгруппой абелевой локально компактной метризуемой группы всех $p$-адических чисел относительно операции сложения $p$-адических чисел и топологии, индуцированной обычной топологией в множестве $p$-адических чисел. Обозначим через $P$ меру Хаара аддитивной группы $p$-адических чисел, пронормированной так, что $P(X)=1$.
Оказывается, каждое $p$-адическое число$x\in X$ единственным образом можно представить в виде цепной дроби
$$ \cfrac1{x_1(x)+\cfrac1{x_2(x)+\cfrac1{x_3(x)+\cfrac1{\dots\dots}}}}, $$
элементы которой $x_i(x)\in Y$. Числитель и знаменатель $n$-й подходящей дроби обозначим соответственно через $r_n(x)$ и $q_n(x)$.
В работе приводится оценка скорости сходимости подходящих дробей к изображаемому числу, оценка разности между любыми подходящими дробями, оценки снизу для норм числителей и знаменателей подходящих дробей. Основу работы составляют следующие два утверждения.
Теорема 3. При любых целых $i>1$ и $k_j$, $0\leq k_j\leq p-1$, $j=1,2,\dots,i$, множества $\{x:a_j(x)=k_j\}$ в $X$ независимы относительно $P$ и $P\{x:a_j(x)=k_j\}=p^{-1}$.
Теорема 4. При любом целом $i>1$ и произвольных $y_j\in Y$, $j=1,2,\dots,i$. множества $\{x:x_j(x)=y_j\}$ в $X$ независимы относительно $P$ и $P\{x:x_j(x)=y_j\}=p^{-2n}$, где $n=\log_{p}\|y_j\|$. Эти теоремы позволяют доказать немедленно для $p$-адических чисел аналог теоремы Бореля о нормальных числах (теорема 6) и утверждение, что множество $p$-адических чисел, допускающих представление цепными дробями с элементами, нормы которых ограничены в совокупности, имеет нулевую меру (теорема 5).
Приведем формулировки еще нескольких теорем работы.
Теорема 7. Пусть $y\in Y$, $\|y\|=p^k$. Для почти всех $x\in X$ частота повторения $y$ в разложении $x$ в цепную дробь одна и та же, не зависящая от $x$ и равна $p^{-2k}$.
Теорема 8. Для почти всех $x\in X$
$$ \lim\biggl(\prod_{i=1}^n\|x_i(x)\|\biggr)^{1/n}=p^{\frac{p}{p-1}}. $$

Теорема 10. Для почти всех $x\in X$
$$ \lim_{n\to\infty}\|r_n(x)\|^{1/n}=p^{\frac{p}{p-1}};\quad \lim_{n\to\infty}\|q_n(x)\|^{1/n}=p^{\frac{p}{p-1}}. $$