Направленные эндоморфизмы упорядоченных множеств

Пусть $\Omega$ – упорядоченное (частично) множество; $X$ – некоторое преобразование $\Omega$. $X$ называется эндоморфизмом, если из $\alpha\le\beta$ ($\alpha,\beta\in\Omega$) всегда следует $X_\alpha\le X_\beta$. $X$ называется направленным, если $\alpha\le X\alpha$ для всех $\alpha\in\Omega$.
Эндоморфизм, являющийся направленным преобразованием, называется направленным эндоморфизмом.
$\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ есть совокупность всех направленных эндоморфизмов. $X$ называется преобразованием замыкания, если $X\in\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ и $X\xi=\xi$ для всякого $\xi\in X\Omega$. $\mathfrak{B}_\Omega$ есть совокупность всех преобразований замыкания.
Преобразования рассматриваются относительно ассоциативного действия умножения преобразований (суперпозиции): $(XY)_\xi=X(Y\xi)$.
Полугруппа, порожденная $\mathfrak{B}_\Omega$, обозначается через $\mathfrak{A}_\Omega^C=[\mathfrak{B}_\Omega]$.
Пусть $\Omega_i$ – упорядоченное множество, обладающее универсально максимальным элементом, т. е. таким элементом $\varepsilon_i$, что $\alpha_i\le\varepsilon_i$ для всякого $\alpha_i\in\Omega_i$ ($i=1,2$).
$\Omega_1$ и $\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы $\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_1}$ и $\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_2}$.
$\Omega_1$ и $\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы $\mathfrak{A}^C_{\Omega_1}$ и $\mathfrak{A}^C_{\Omega_2}$.