О решении системы $r+1$ линейных несовместных уравнений с $n$ неизвестными методом наименьших квадратов

Пусть задана несовместная система $r+1$ линейных уравнений с $n$ неизвестными ранга $r$
\begin{equation} h_i(x)=d_{i1}x_1+\dots+d_{in}x_n+b_i=0,\quad i=1,\dots,r+1. \label{1} \end{equation}
левые части уравнений которой линейно зависимы в узком смысле. Для простоты рассуждения предположим, что первые $r$ столбцов матрицы коэффициентов системы \eqref{1} такие, что все определители порядка $r$ отличны от нуля.
Рассмотрим определитель
\begin{equation} \begin{vmatrix} a_{11}&\dots& a_{1r}b_1\\ \dots&\dots&\dots\\ a_{r+1,1}&\dots&a_{r+1,r}b_{r+1} \end{vmatrix}, \label{2} \end{equation}
который будем считать положительным. Этого всегда можно добиться, умножив одно из уравнений системы \eqref{1} на $-1$. Обозначим через $B_i$ – алгебраическое дополнение элемента определителя \eqref{2}, а через $A_{ij}$ – алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$ того же определителя.
Тогда решение системы \eqref{1} методом наименьших квадратов определяется формулами
\begin{gather} x_j^{*}=\frac{A_{ij}B_1+\dots+A_{r+1,j}B_{r+1}} {B_1^2+\dots+B^2_{r+1}}+\frac1D\sum_{\nu=r+1}c_{j\nu}t_\nu,\quad j=1,\dots,r, \notag\\ x^*_\nu=t_\nu,\quad \nu=r+1,\dots,n;\notag \end{gather}
где $-\infty<t_\nu<\infty$, $c_{j\nu}=-\sum\limits_{i=1}^{r+1}A_{ij}a_{i\nu};$
$$ h_1^2(x^*)+\dots+h^2_{r+1}(x^*)= \frac{D}{B^2_1+\dots+B^2_{r+1}}. $$