Об одном функциональном уравнении, имеющем приложения в теории игр

Показано, что в двух игровых задачах цена игры удовлетворяет функциональному уравнению
$$ \varphi(x)=\max_{y\in\Gamma_x}\varphi(y)\quad(x\in X) $$
на произвольном множестве $X$, где $\{\Gamma_x\}$ – некоторая система его конечных подмножеств. При двух предположениях: а) $X$ – однородное пространство; б) при сдвиге, переводящем $x$ в $y$, $\Gamma_x$ переходит в $\Gamma_y$ – изучены решения указанного функционального уравнения. При некоторых условиях на $\{\Gamma_x\}$ дается ряд критериев, позволяющих указать период всех решений. Для случая, когда $X$ – группа, а $\Gamma_x$ состоит из двух элементов, дается эффективное описание всех решений уравнения. В случае, когда $X$ – $n$-мерная решетка, при дополнительных ограничениях на $\{\Gamma_x\}$, дается рекуррентный способ построения всех решений.