Относительные дополнения в группах

Относительным дополнением для ряда подгрупп $G_1\subset G_2\subset G_3$ группы $G$ называется подгруппа $G_4$, для которой $G_4\cap G_2=G_1$, $G_4G_2=G_3$.
Теорема 1. Для группы $G$ равносильны условия: а) в $G$ для всякого ряда подгрупп $G_1\subset G_2\subset G_3$ существуют относительные дополнения; б) $G$ – локально конечная группа, в которой структура подгрупп есть структура с относительными дополнениями.
Группы с условием (б) рассматривались ранее автором (РЖМат, 1967, 8А148).
Теорема 2. Для группы $G$ равносильны условия: a) $G$ – локально конечная группа, в которой существуют относительные дополнения для всякого ряда подгрупп $G_1\lhd G_2\lhd G_3$; б) $G$ – разрешимая группа, в которой существуют относительные дополнения для всякого такого ряда $G_1\lhd G_2\lhd G$; в) $G$ – локально конечная $T$-группа (РЖМат, 1959, 6643), в которой коммутант дополняем и всякая силовская $p$-подгруппа элементарна.
Локально конечные $T$-группы описаны автором (РЖМат, 1966, 11А162) под названием локально обобщенно гамильтоновых.
Теорема 3. Для локально конечной группы $G$ равносильны условия: а) в $G$ найдутся относительные дополнения для всякого такого ряда подгрупп $G_1\subset G_2\subset G_3$, где $G_2$ – $p$-группа; 6) $G$ – $T$-группа с элементарными силовскими $p$-подгруппами.
Показана возможность ослабления условий (а) в теоремах 1, 2, 3. Рассматриваются также группы, в которых различными способами ослаблено условие (б) теоремы 2.
Классы групп, описанные в теоремах 1, 2, 3, различны. Отсюда, в частности, следует, что основные результаты работы Емальди и Цакера (РЖМат, 1966, 7А194) ошибочны и не могут быть доказаны даже в том случае, если в условии теоремы 1 и условии 5 теоремы 2 наложить дополнительное требование дополняемости коммутанта в группе $G$.