Обоснование высокочастотной асимптотики в трехмерной дифракционной задаче

Рассматривается дифракция волны от ограниченного в пространстве $x_1$, $x_2$, $x_3$ источника возмущений на ограниченном звездном теле $M$ с граничным условием $u=0$; граница может быть негладкой. Уточняется результат Моравец об экспоненциальном убывании решения нестационарной дифракционной задачи при $t\to\infty$. В случае, когда $M$ – многогранник, удовлетворяющий некоторым довольно общим условиям, аналогичный результат получается и для производных по $t$ любого порядка от решения, независимо от гладкости начальных условий. На основании этого доказывается, что высокочастотная асимптотика решения стационарной задачи дифракции с точностью до любой степени $\omega^{-n}$ частоты $\omega$ полностью определяется лучевыми разложениями падающей и дифрагированных волн в соответствующей нестационарной задаче. То же справедливо и для функции Грина стационарной задачи.
$\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ есть совокупность всех направленных эндоморфизмов. $X$ называется преобразованием замыкания, если $X\in\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ и $X\xi=\xi$ для всякого $\xi\in X\Omega$. $\mathfrak{B}_\Omega$ есть совокупность всех преобразований замыкания.
Преобразования рассматриваются относительно ассоциативного действия умножения преобразований (суперпозиции): $(XY)_\xi=X(Y\xi)$.
Полугруппа, порожденная $\mathfrak{B}_\Omega$, обозначается через $\mathfrak{A}_\Omega^C=[\mathfrak{B}_\Omega]$.
Пусть $\Omega_i$ – упорядоченное множество, обладающее универсально максимальным элементом, т. е. таким элементом $\varepsilon_i$, что $\alpha_i\le\varepsilon_i$ для всякого $\alpha_i\in\Omega_i$ ($i=1,2$).
$\Omega_1$ и $\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы $\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_1}$ и $\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_2}$.
$\Omega_1$ и $\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы $\mathfrak{A}^C_{\Omega_1}$ и $\mathfrak{A}^C_{\Omega_2}$.