Распределение максимума процесса с независимыми приращениями

$\xi(t)$, $t\geq0$, $\xi(0)=0$, однородный процес с с независимыми приращениями, для которого $Me^{\lambda \xi(1)}=e^{\psi(\lambda)}$ конечен при $\lambda_-\leq\operatorname{Re}\lambda\leq\lambda_+$, $-\infty<\lambda_-\leq0\leq \lambda_+<\infty$.
Пусть для $\psi(\lambda)$ имеет место представление или $\psi(\lambda)=a\lambda+\dfrac{\sigma^2\lambda^2}2+\lambda^2\psi_1(\lambda)$, или $\psi(\lambda)=a\lambda+\dfrac{\sigma^2\lambda^2}2+\lambda\psi_2(\lambda)$, где $\displaystyle\psi_i(\lambda)=\int_{-\infty}^\infty e^{\lambda x}S_i(x)\,dx$, $i=1,2$, при $\lambda_-\leq\operatorname{Re}\lambda\leq\lambda_+$.
При некоторых ограничениях на поведение $\psi_1(\lambda)$ или $\psi_2(\lambda)$ на бесконечности получены асимптотические разложения для $P\{\xi(t)>x\}$ но степеням $((x-\alpha)/\sqrt{t})^{-1}$, $t^{1/2}$, если $\lim\dfrac{x}t=\alpha$, и $\lambda_-<\lambda_\alpha<\lambda_+$, где $\lambda_\alpha$ определяется соотношением $\psi'(\lambda_\alpha)=\alpha$.