|
Сибирский математический журнал, 1969, том 10, номер 6, страницы 1197–1205
(Mi smj5706)
|
|
|
|
О продолжении одного класса линейных положительных функционалов
И. А. Бахтин
Аннотация:
В работе приводится ряд необходимых и достаточных условий для продолжения линейных положительных функционалов с подпространством на все
пространство с сохранением линейности и положительности.
Центральными результатами работы являются две следующие теоремы.
Пусть линейный положительный функционал $f$ задан на подпространстве $E_t$
банахова пространства $E$ с конусом $K$. Обозначим через $L_f$ пересечение $f$ и
через $E_{f^-}$ – полуподпространство.
Теорема 1. Для того чтобы линейный положительный функционал
$f(K_f\notin L_f)$ можно было продолжить с $E_f$ на все пространство $E$ с сохранением линейности и положительности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из условий:
а) $K\oplus L_f\neq K\oplus E_f$;
б) существуют такие элементы $x_2\in K_f$ и число $\alpha_0>0$, что при всех $x\in K$
$$
\rho(x+x_0,L_f)\geq \alpha_0.
$$
Теорема 2. Для того чтобы линейный положительный функционал $f(K_f\not\subset L_f)$ можно было продолжить с $E_f$ на все пространство с сохранением
линейности и положительности, необходимо и достаточно, чтобы существовало
такое число $\beta_0>0$, что для любого $x\in E_{f^-}$ расстояние
\begin{equation}
\rho(x,K)\geq \beta_0\rho(x,L_f).
\label{1}
\end{equation}
В работе приводятся примеры, которые показывают, что известная теорема
М. Г. Крейна о продолжении линейных положительных функционалов не
распространяется на случай почти телесных конусов, т. е. на конусы, содержащие почти внутренние точки.
Статья поступила: 09.10.1967
Образец цитирования:
И. А. Бахтин, “О продолжении одного класса линейных положительных функционалов”, Сиб. матем. журн., 10:6 (1969), 1197–1205; Siberian Math. J., 10:6 (1969), 883–890
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj5706 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v10/i6/p1197
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 46 | PDF полного текста: | 23 |
|