О гомологической классификации моноидов

Множество $A$ называется левым полигоном моноида $S$ или левым $S$-полигоном, если для любых $\lambda\in S$ $a\in A$ определено произведение $\lambda a\in A$, причем $(\lambda\mu)a=\lambda(\mu a)$ и $1a=a$ для всех $\lambda$, $\mu\in S$ и $a\in A$. Идемпотент $\varepsilon$ моноида $S$ называется специальным, если для всякой конгруенции $\equiv$ левого $S$-полигона $S$ найдется элемент $\gamma\in S\varepsilon$ такой, что $\varepsilon\gamma\equiv\varepsilon$ и $\xi\equiv S$ влечет $\xi\gamma\equiv S\gamma$. Проективные [инъективные] объекты категории всех левых $S$ полигонов называются проективными [инъективными| полигонами. Получены следующие результаты: 1) Следующие свойства моноида $S$ эквивалентны: а) все левые $S$-полигоны инъективны; б) моноид $S$ содержит правый нуль и все его левые идеалы порождаются специальными идемпотентами; в) моноид $S$ содержит правый нуль и всякий подполигон любого циклического левого $S$-полигона является в нем ретрактом; 2) Следующие свойства моноида $S$ эквивалентны: а) все левые $S$-полигоны проективны; б) все циклические левые $S$-полигоны проективны; в) $S$ – единичная группа; 3) Моноид $S$ является группой тогда и только тогда, когда всякий левый $S$-полигон является теоретико-множественным объединением попарно не пересекающихся циклических $S$-полигонов. Аналогичная характеристика найдена для групп с внешне присоединенным нулем.