Некорректные задачи в топологических пространствах

Рассматривается уравнение
\begin{equation} Ax=y, \label{1} \end{equation}
где $x$ и $y$ элементы хаусдорфовых топологических пространств, $A\colon X\to Y$ отображение с замкнутым графиком с областью значений плотной в $Y$. Предполагается, что при $y=y_0$ уравнение имеет единственное решение $x_0$. Требуется, зная фильтр окрестностей $\{V_\sigma\}$ точки $y_0$, построить в $X$ обобщенную точечную последовательность $\{x_\sigma\}$, сходящуюся к $x_0$. Каждая окрестность $V_\sigma(y_0)$ рассматривается как приближенное значение $y_0$, соответствующее $x_\sigma$ как приближенное решение уравнения.
Задача называется корректной, если выполнены условия:
1) Пересечение полных прообразов $A^{-1}V_\sigma$ окрестностей $V_\sigma(y_0)$ содержит лишь одну точку $x_0$.
2) Фильтр, порождаемый полными прообразами $A^{-1}V_\sigma$ сходится к $x_0$.
Для корректной задачи в качестве $x_\sigma$ можно взять любую точку из $A^{-1}V_\sigma$.
В работе рассмотрен случай, когда первое условие выполнено, а второе нет (неустойчивые задачи). При дополнительной информации о $x_0$ дано два способа решения. Первый способ обобщает метод квазирешений (РЖ Мат 1963, ЗБ369). В нем предполагается, что $x_0$ принадлежит заданному бикомпактному множеству $M\subset X$. Второй способ обобщает вариационные методы (РЖ Мат 1962, 12В179; 1963, 12Б342). В нем предполагается, что на $X$ задан неотрицательный функционал $\Omega(x)$ со свойствами:
1) для каждого $c>0$ множество $M_c=\{x:\Omega(x)\leq c\}$ бикомпактно,
2) для $c\geq0$ существует такое $x\in X$, что $\Omega(x)=c$.
Решение основано на следующей теореме.
Пусть $A\colon M\to Y$ отображение с замкнутым графиком бикомпактного пространства $M$ в хаусдорфово пространство $Y$, $y_0\in Y$ точка, имеющая в $M$ единственный прообраз $x_0$. Фильтр $\{A^{-1}V_\sigma\}$ , порождаемый полными прообразами окрестностей $V_\sigma(y_0)$ точки $y_0$, сходится к $x_0$.