Простые монокомпозиционные алгебры

Настоящая работа посвящена вопросу о наличии двусторонних идеалов в невырожденных монокомпозиционных алгебрах с единицей, определение которых было дано автором в работе “Монокомпозиционные алгебры” (сданной в печать в “СМЖ”). Алгебра $\mathfrak A$ с операцией умножения $xy$ называется монокомпозиционной, если на ней задана квадратичная форма $N(x,x)$ такая, что для любого элемента $x\in\mathfrak A$ выполняется равенство
\begin{equation} N(x^2,x^2)=[N(x,x)]^2. \label{1} \end{equation}

Понятие монокомпозиционной алгебры является широким обобщением понятия композиционной алгебры. Широким в том смысле, что если класс композиционных (невырожденных) алгебр довольно узок: он исчерпывается алгебрами Кэли–Диксона и их подалгебрами – то класс монокомпозиционных алгебр весьма обширен. Достаточно сказать, что он содержит в себе класс всех квадратичных алгебр с единицей.
В настоящей статье (и в цитированной выше ) предпринята попытка изучения этого нового класса алгебр. Основным из вопросов, здесь возникающих, является вопрос о классификации всех простых алгебр данного класса. Этому вопросу и посвящена данная работа. Автором еще не получено полного решения данной проблемы, однако, в настоящей работе эта задача сведена к другой, к более простой (по мнению автора) задаче. Это, в частности, позволило автору найти большой класс простых монокомпозиционных алгебр с единицей: это – невырожденные монокомпозиционные алгебры с единицей, которые содержат хотя бы одну невырожденную квадратичную подалгебру коразмерности, не превосходящей 6. Из теоремы сведения также вытекает, что все невырожденные монокомпозиционные алгебры с единицей, размерность которых не превосходит 7, являются простыми. Доказательство основной теоремы сведения (теорема 4 работы) и составляет почти целиком содержание работы.
Основная теорема (теорема сведения).
Если какая-либо невырожденная монокомпозиционная алгебра с единицей содержит собственный идеал размерности $n$ ($n$ – любое кардинальное число), то должна существовать некоторая специальная монокомпозиционная алгебра $B$ размерности $r$, где $2\leq r\leq n-1$. А именно, $B$ – это алгебра с операцией умножения $xy$ над алгебраически замкнутым полем $\Phi$ и на пространстве $B$ заданы еще симметрическая невырожденная билинейная форма $N(x,y)$ и линейный оператор $S$, удовлетворяющие для любых элементов $x,y$ алгебры $B$ равенству \eqref{1} и равенствам:
\begin{gather} xy=yx,\notag\\ N(x^2,x)=0,\notag\\ N(xS,yS)=N(x,y),\notag\\ N(xS,y)+N(x,yS)=0,\notag\\ N(x^2,xS)=0.\notag \end{gather}