Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами

Ищутся условия экспоненциальной устойчивости для системы
\begin{equation} x_{n+1}=A_nx_n, \quad x_n\colon\mathbb Z\to\mathbb C^N \tag{1} \end{equation}
в терминах функции Ляпунова $V=\langle G_nx,x\rangle$ в классе почти периодических $A_n$, $G_n$. Последнее означает, что множества сдвигов $A_{n+k}$, $G_{n+k}$ – предкомпакты в банаховом пространстве ограниченных функций $\mathbb Z\to\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ с равномерной нормой. Предполагается $|{\det A_n}|\ge\mathrm{const}>0$. Обозначим $\overset\circ V=\langle H_nx,x\rangle $, $H_n=A^*_nG_{n+1}A_n-G_n$.
Теорема. {\it Пусть в указанных условиях $G_n\geqslant\varepsilon I$, $\varepsilon=\mathrm{const}>0$, $\overset\circ V\leqslant0$, при атом $\overset\circ V$ отлична, от тождественного нуля на каждом ненулевом решении $x-x_n$ системы (1). Тогда, нулевое решение (1) экспоненциально устойчиво.}
В этой теореме условие на $\overset\circ V$ существенно слабее условия $\overset\circ V<0$ для общих линейных систем (1).
Библиогр. 1.