Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы

Исследуются крутильные колебания тела вращения внутри сосуда, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью, под действием момента упругой силы. Доказывается асимптотическая устойчивость состояния покоя. Используются два подхода: прямой метод Ляпунова и метод линеаризации. Глобальная асимптотическая устойчивость устанавливается при помощи однопараметрического семейства функционалов Ляпунова. Затем исследуются малые колебания системы жидкость-тело. Показано, что линеаризованный оператор задачи о вращении тела в жидкости можно реализовать как операторную матрицу, получаемую добавлением двух скалярных строк и двух столбцов к оператору Стокса. Таким образом, этот оператор является двумерным окаймлением оператора Стокса и наследует многие его свойства, в частности, дискретность спектра. Задача на собственные значения для линеаризованного оператора сводится к решению дисперсионного уравнения. Исследование уравнения показывает, что все собственные значения расположены внутри правой (устойчивой) полуплоскости. На основе этого затем проводится обоснование линеаризации. С применением абстрактной теоремы В. И. Юдовича доказывается асимптотическая устойчивость в шкале функциональных пространств, бесконечная дифференцируемость решений и затухание всех их производных со временем.