О критических показателях норм в $n$-мерном пространстве

Пусть $A$ – линейный оператор в $n$-мерном линейном пространстве $E^n$ с $\|A\|=1$. Тогда либо $\rho(A)=1$ и $\|A^m\|=1$ ($m=1,2,\dots$), либо $\rho(A)<1$ и, начиная с некоторого $m_0$, $\|A^m\|<1$ ($m\geq m_0$). Вообще говоря, $m_0$ зависит от оператора. Пусть
$$ q=\sup_{\|A\|=1,\rho(A)<1}m_0, $$
$q$ называется критическим показателем нормы, если $q<\infty$; если $q=\infty$, критического показателя не существует [РЖМат, 1968, 5Б647]. Сформулировано и доказано достаточное условие существования критического показателя. Этому условию удовлетворяют, в частности, $l_p$-нормы при рациональных $p$ ($1\le p\le\infty$) как в вещественном, так и в комплексном пространстве. Условие заключается в существовании алгебраического многообразия $F$, содержащего единичную сферу и не проходящего через нуль. Приведен пример, показывающий существенность требования $0\notin F$. Сформулировано аналогичное достаточное условие существования критического показателя ассоциативной нормированной алгебры.