О разбиении семейств выпуклых тел

Семейство $A$ тел в $R^k$ будем называть $n$-семейством, если существует $n$ тел, имеющих общую точку и не существует $n+1$ тела с этим свойством.
Пусть $\alpha(A)$ – наименьшее число подсемейств $A$, состоящих из попарно непересекающихся тел; тогда для класса $\Sigma$ семейств тел $A$ положим $\alpha_\Sigma(k,n)=\sup\alpha(A)$. Получены результаты:
1) Дана оценка $\alpha_\Sigma(k,n)$, где $\Sigma$ – семейства выпуклых тел с равномерно ограниченным сверху отношением диаметра тела к его ширине;
2) Если $A$ – $n$-семейство гомотетов выпуклого тела, то $\alpha_\Sigma(k,n)\le3^kk!n$.