Выпуклые поверхности с ограниченной средней кривизной

Пусть $\Gamma$ – выпуклая дважды непрерывно дифференцируемая замкнутая поверхность трехмерного евклидова пространства $E^3$. Если средняя кривизна $N$ в каждой точке $\Gamma$ удовлеворяет неравенствам $0<a\le N\le b$, $a/b<6\pi/(5\pi+3\sqrt3)$, то для диаметра $D$ поверхности $\Gamma$ справедлива оценка сверху, зависящая от $a$ и $b$. Оценка для $D$ используется в работе для доказательства утверждения: если в каждой точке $\Gamma$ выполнены условия: $1-\varepsilon\le N\le1$, $0\le\varepsilon\le10^{-10}$, то для $D$, ширины $\Delta$, радиуса минимального описанного шара $R$, радиуса максимального вписанного шара $r$ справедливы оценки
$$ D\le2+C\varepsilon,\quad\Delta\ge2+C\varepsilon\ln\varepsilon,\quad R\le1-C\varepsilon\ln\varepsilon,\quad r\ge1+C\varepsilon\ln\varepsilon, $$
где $C$ – постоянная и $\le10^{10}$.