О структурных свойствах групповых пар

Рассматриваются групповые пары $(G,\Gamma)$ и $(G',\Gamma')$, между структурами подпар которых установлен изоморфизм $\varphi$ такой, что $(G,\mathscr E)^\varphi=(G',\mathscr E')$ ($\mathscr E$ и $\mathscr E'$ – единичные подгруппы в $\Gamma$ и $\Gamma'$) . Этот изоморфиз $\varphi$ называется структурным изоморфизмом пар $(G,\Gamma)$ и $(G',\Gamma')$. Он индуцирует структурные изоморфизмы групп $G$ и $G'$, $\Gamma$ и $\Gamma'$, которые тоже будем обозначать через $\varphi$.
Изучаются структурные изоморфизмы пар $(G,\Gamma)$ и $(G',\Gamma')$, обладающие свойством: для каждой циклической подгруппы $\{\sigma\}$ из $\Gamma$ найдется в $G\{\sigma\}$-дonyстимая бесконечная циклическая подгруппа $\{g_\sigma\}$ такая, что пары $(\{g_\sigma\},\{\sigma\}$ и $(\{g_\sigma\}^\varphi,\{\sigma\}^\varphi)$ изоморфны. Такие структурные изоморфизмы пар называются связанными. Исследуются условия, при которых свойства стабильного типа данной пары сохраняются при ее связанных структурных изоморфизмах. Приведем основной результат. Если $(G,\Gamma)$ – финитно стабильная (стабильная) пара, $G$ – локально нильпотентная непериодическая группа и $\varphi$ – связанный структурный изоморфизм пар $(G,\Gamma)$ и $(G',\Gamma')$, то $(G',\Gamma')$ тоже финитно стабильная (стабильная) пара. Если же $G$ – абелева группа, содержащая не менее двух независимых элементов бесконечного порядка, и $E=G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_n=G$ – $\Gamma$-стабильный ряд в $G$, то $E^\varphi=G_0^\varphi\subset G_1^\varphi\subset\dots\subset G_n^\varphi=G'$ будет $\Gamma'$-стабильным рядом в группе $G'$.
Изучаются условия, при которых свойство подгруппы из $\Gamma$ или из $G$ быть радикалом стабильного типа в действующей группе или в области действия сохраняется при структурных изоморфизмах пары $(G,\Gamma)$ .