Размерные подгруппы и их обобщения

Пусть $\mathfrak{M}$ – произвольный класс групп. Через $L\mathfrak{M}$ обозначим класс всех групп, у которых каждая подгруппа с конечным числом образующих лежит в классе $\mathfrak{M}$. Пусть $A\mathfrak{M}$ – класс всех групп $\Gamma$, в которых имеется система нормальных делителей $\{\Gamma_\alpha\}$ таких, что $_\alpha\Gamma_\alpha=E$ и $\Gamma/\Gamma_\alpha\in\mathfrak{M}$. Обозначим через $\mathfrak{M}^*$ функцию, выделяющую в произвольной группе $\Gamma$ подгруппу $\mathfrak{M}^*(\Gamma)$ – пересечение всех нормальных делителей $\Gamma_\alpha$ в $\Gamma$ таких, что $\Gamma/\Gamma_\alpha\in\mathfrak{M}$.
Пусть, кроме того, $\mathfrak{X}$ – многообразие пар $(G,\Gamma)$, определяемое некоторым набором битождеств, где $G$ – модули над некоторым фиксированным кольцом, $\Gamma$ – группы. Каждому такому многообразию пар ставится в соответствие класс $\mathfrak{X}=\mathfrak{M}$ всех групп, допускающих точное представление в многообразии $\mathfrak{X}$.
Теорема. 1) Класс $\mathfrak{M}$ замкнут относительно взятия подгрупп. 2) $A\mathfrak{M}=\mathfrak{M}$. 3) $L\mathfrak{M}=\mathfrak{M}$. 4) Для произвольной группы $\Gamma$ $\mathfrak{M}^*(\Gamma)$ есть множество всех элементов $\gamma\in\Gamma$, действующих тождественно в каждой паре $(G,\Gamma)$, принадлежащей многообразию $\mathfrak{X}$.
Приводятся применения указанной теоремы, в частности, к размерным подгруппам.