Общие растяжения $T$-матриц

Пусть $A\equiv(a_{mn})$ – $T$-матрица, $\{p_n\}$ – произвольная последовательность натуральных чисел, $l_0=0$ и
$$ l_n=\sum_{i=1}^n p_i\quad\text{при}\quad n=1,2,\dots. $$

Определение. $p_n$-Растянутой называется матрица $(a^{p_n\times}_{mn})$, определяемая формулой
$$ a^{p_n\times}_{mn}=a_{mk}/p_k\quad\text{при}\quad l_{k-1}<n\leq l_k \quad (k=1,2,\dots). $$

Для случая , когда $p_n=p=\operatorname{const}$, операция растяжения матриц была введена П. Вермсом и изучалась в применении к $T$-матрицам Д. X. Иха.
Теорема 1. Каковы бы ни были ограниченная расходящаяся последовательность $\{s_n\}$, $T$-матрица $A$ и число $a$, удовлетворяющее условию
$$ \varliminf_{m\to\infty}\frac1m\sum_{n=1}^m s_n\leq a \leq \varlimsup \frac1m\sum_{n=1}^m s_n, $$
можно найти такую последовательность $\{p_n\}$, что матрица $a^{p_n\times}_{mn}$ суммирует последовательностъ $\{s_n\}$ к числу $a$.
Теорема 2. Каковы бы ни были ограниченная расходящаяся последовательность $\{s_n\}$ и $T$-матрица $A$, можно найти такую последовательность $\{p_n\}$, что матрица $\{a^{p_n\times}_{mn}\}$ не суммирует последовательность $\{s_n\}$.
Наряду с растяжением в работе вводится и изучается операция сжатия последовательностей.