Примеры неразрешимых в классическом смысле скалярных регулярных вариационных задач, удовлетворяющих условиям стандартного роста

Для всех размерностей пространства независимых переменных строятся примеры неразрешимых в классе гладких функций вариационных задач
$$ I(u)=\int_B L(x,u(x),Du(x))\,dx\to\min, \quad u|_{\partial B}=f, \quad u\colon B\to R, $$
где $B$ – круг с центром в начале координат. При этом интегранд $L\in C^\infty(R^n\times R\times R^n)$ удовлетворяет условиям
\begin{gather*} \mu_1|\zeta|^2\le\sum^n_{i,j=1}L_{v_iv_j}(x,u,v)\zeta_i\zeta_j\le\mu_2|\zeta|^2 \quad (\mu_1,\mu_2>0), \\ A_1+\mu_1|v|^2\le L(x,u,v)\le A_2+\mu_2|v|^2 \quad (A_1,A_2\in R). \end{gather*}
В рассматриваемых задачах классические минимизирующие последовательности сходятся к обобщенным решениям, имеющим бесконечные радиальные производные в точках сферы, целиком лежащей внутри области определения допустимых для задачи функций. Показано также, что эффект неразрешимости может быть устойчив по граничным данным.
Библиогр. 30.