Многомерная $q$-интегральная $p$-вариация и обобщенная по Соболеву дифференцируемость в $L_p$ функций из $L_q$

Для функций многих переменных определяется понятие $q$-интегральной $p$-вариации (в одномерном случае при $q=\infty$ – это винеровская $p$-вариация, совпадающая при $p=1$ с классической вариацией; в многомерном случае при $q=\infty$ и $q=1$ – вариация в смысле Витали).
В терминах этого понятия указывается необходимое и достаточное условие существования в $L_p(\Omega)$ $r$-производной функции: $\Omega$ – произвольная область, $p>1$ (аналог теоремы Ф. Рисса). При $\Omega=R^n$ и $p\ge1$ в тех же терминах даются необходимые и достаточные условия того, чтобы $r$-производная имела в $L_p$ определенную гладкость.