Одно характеристическое свойство четырехмерного симметрического пространства ранга I

Изучается четырехмерное аналитическое риманово пространство $R^4$, геодезические линии которого ведут себя следующим образом: $(\ast)$ в каждой точке $P\in R^4$ и для каждого вектора $\lambda$ существует единственное двумерное направление $d(\lambda)$ такое, что все геодезические, выходящие из точки $P\in R^4$ в направлениях, принадлежащих $d(\lambda)$ , образуют двумерную вполне геодезическую поверхность, изометрическую двумерной сфере радиуса $1$. Если в четырехмерном комплексном проектированном многообразии $P_c^2$ ввести метрику Фубини
$$ ds^2=\frac14\frac{\biggl( \sum\limits_{i=1}^3dz_id\bar{z}_i\biggr)\biggl( \sum\limits_{i=1}^3 z_i\bar{z}_i\biggr)-\sum\limits_{i=1}^3 z_id\bar{z}_i\sum\limits_{i=1}^3\bar{z}_idz_i} {\biggl(\sum\limits_{i=1}^3z_i\bar{z}_i\biggr)^2}, $$
то поведение геодезических в $P_c^2$ удовлетворяет условию $(\ast)$. Доказано, что если в пространстве $R^4$, кривизна которого в каждой точке и в каждом двумерном направлении неотрицательна, выполняется условие $(\ast)$, то $R^4$ изометрично $P_c^2$.