О полугруппах многообразий, связанных с представителями групп

Рассматриваются пары $(G,\Gamma)$, где $G$ – модуль над некоторым кольцом $K$, и $\Gamma$ – группа, для которой задано представление в качестве группы автоморфизмов модуля $G$. Многообразие пар – это класс пар, определяемый некоторым набором битождеств вида $x\circ u\equiv0$, где $x$ пробегает $G$, а $u$ – элемент в групповой алгебре $KF$ свободной группы счетного ранга $F$. Многообразия пар естественным образом составляют полугруппу. Доказывается, что при любом поле $K$ эта полугруппа свободна.