К теоремам о компактности

Теорема. Пусть в некотором банаховом пространстве функций $B$, определенных на $(-\infty,\infty)$ оператор сдвига сильно непрерывен и $W^{(l)}_p(-\infty,+\infty)\subseteq B\subseteq L_p(-\infty,+\infty)$, ($ 1\leq p<\infty$). Тогда, ограниченное в $B$ множество $K$ компактно в $B$ тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) величина $\delta(a)=\sup\limits_{f\in K}\sup\limits_{|t|\leq a}\|T(t)f(s)-f(s)\|_B\to0$ при $a\to0$,
2) $\displaystyle\sup\limits_{f\in K}\int_{|s|\geq N}|f(s)|^p\,ds\to0$ при $N\to\infty$.
Теорема обобщается на случай, когда вместо группы сдвига действует $n$-параметрическая полугруппа, а $B$ – произвольное банахово пространство. Дается один критерий сильной непрерывности $n$-параметрической группы в рефлексивных банаховых пространствах.