О принципе максимума для эллиптико-параболического уравнения $2$-го порядка

Получены необходимые и достаточные условия на границу области, при выполнении которых для регулярных решений эллиптико-параболического уравнения $2$-го порядка имеют место теоремы о знаке косой производной. Точнее, если регулярное решение эллиптико-параболического уравнения $2$-го порядка достигает своего экстремального значения в граничной точке, обладающей свойством строгой параболоидности изнутри, то при выполнении критерия производная решения по любому внутреннему направлению в этой точке должна иметь определенный знак; если же условия критерия не выполнены, то для данного эллиптико-параболического уравнения можно построить область такую, что в граничной точке достижения экстремума регулярным решением этого уравнения существует направление, вдоль которого производная решения обращается в нуль. Показано, в частности, что теоремы о знаке косой производной имеют место в случае граничных поверхностей типа Ляпунова. Теоремы о знаке косой производной позволяют уточнить вопрос о единственности решения II и III краевой задачи для параболического уравнения $2$-го порядка.