Оценки отклонения выпуклых тел через изопериметрическую разность

$A$ и $B$ – выпуклые собственные тела в евклидовом пространстве $R^n$, $\Delta(A,B)=V_1^n(A,B)-V^{n-1}(A)V(B)$ – изопериметрическая разность, $\delta(A,B)$ – отклонение тел $A$ и $B$, $r$ – радиус наибольшего шара, который можно вписать и в тело $A$, и в тело $B$, $R$ – радиус наименьшего шара, который можно описать и около тела $A$, и около тела $B$, $s=\sqrt[n]{\dfrac{V(A)}{V(B)}}$.
Наибольшее из чисел $\lambda$, таких, что $\lambda B\subset A$ , называется коэффициентом недостатка $q(A(B))$ тела $A$ относительно тела $B$.
Поверхностные функции $F(A,\omega)$, $F(B,\omega)$ тел $A$ и $B$ называются $\varepsilon$-близкими, если $|F(A,\omega)-F(B,\omega)|<\varepsilon F(A)$ для любого борелевского множества $\omega$ на единичной сфере. Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.
$$ q(A(B))\geq\biggl[\frac{V_1(A,B)}{V(B)}\biggr]^{1/(n-1)}- \frac{[V_1^{n/(n-1)}(A,B)-V(A)V^{1/(n-1)}(B)]^{1/n}} {V^{1/(n-1)}(B)}. $$

Теорема 2. Для фиксированных $n,r,R$ найдутся такие числа $\varepsilon_0>0$, $C$, что если $\Delta(A,B)<\varepsilon$, $0\le\varepsilon\leq\varepsilon_0$, то $q(A(sB))\ge1-C\varepsilon^{1/n}$ и $\delta(A,sB)\leq C\varepsilon^{1/n}$.
Теорема 3. Для фиксированных $n,r,R$ найдутся числа $\varepsilon_0>0$, $C$ такие, что если $\Delta(A,B)<\varepsilon$, $0\leq\varepsilon\leq\varepsilon_0$, то $q(A(sB))\ge1-C\varepsilon^{1/n}$ и $\delta(A,sB)\le C\varepsilon^{1/n}$.