|
Сибирский математический журнал, 1972, том 13, номер 4, страницы 748–760
(Mi smj4482)
|
|
|
|
О сжатиях функций
Л. А. Балашов, В. И. Прохоренко
Аннотация:
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – $2\pi$-периодические функции из $L^2(0,2\pi)$.
Функция $g(x)$ называется сжатой порядка $m$ ($m\geq1$) относительно $f(x)$, если при любом $h>0$ выполняется соотношение
$$
\|\Delta_h^mg(x)\|_{L^2}\leq \|\Delta_h^mf(x)\|_{L^2},
$$
где
$$
\Delta_h^{(m)}f(x)=\sum_{j=0}^m(-1)^j C_m^j f[x+(m-j)h].
$$
Известно, что если функция $f(x)\in L^2(0,2\pi)$ такова, что при некотором
$\rho\in(0,2)$
$$
\sum_{n=1}^\infty n^{-p/2}\biggl[
\sum_{k=n+1}^\infty\rho_k^2(f)\biggr]^{p/2}<\infty,
$$
где $\rho_k^2(f)=a_k^2(f)+b_k^2(f)$, $a_k(f),b_k(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе, то для любой функции $g(x)$, сжатой порядка $m$ относительно $f(x)$ при некотором $m\geq1$, справедливо соотношение
$$
\sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(g)<\infty.
$$
В работе, в частности, устанавливается, что этот результат в некотором
смысле окончателен. Именно, доказывается следующая
Теорема. Каковы бы ни были $p\in(0,2)$, целое число $m\geq1$ и положительная последовательность $v(n)\uparrow\infty$, найдется непрерывная функция $f(x)$ такая, что
$$
\sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(f)<\infty,\qquad
\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{-p/2}}{v(n)}\biggl[
\sum_{k=n+1}^\infty\rho_k^2(f)\biggr]^{p/2}<\infty,
$$
однако для некоторой функции $g(x)$, сжатой порядка m относительно $f(x)$, выполняется соотношение
$$
\sum_{n=1}^\infty\rho_n^p(g)=\infty.
$$
Статья поступила: 17.02.1971
Образец цитирования:
Л. А. Балашов, В. И. Прохоренко, “О сжатиях функций”, Сиб. матем. журн., 13:4 (1972), 748–760; Siberian Math. J., 13:4 (1972), 514–524
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj4482 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v13/i4/p748
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 68 | PDF полного текста: | 26 |
|