Об одном интегрально-геометрическом соотношении в теории поверхностей

Пусть $P$ – компактный кусок некоторой большой $n$-мерной ориентированной поверхности в $R^{n+1}$ класса $C^{n+1}$ и пусть граница $P$ – кусочно гладкая класса $C^n$. Интегральной кривизной $m$-го порядка поверхности $P$ называется величина
$$ \mathscr K_m(P)=\int_P K_m(p)\,d\sigma_p,\quad m=1,2,\dots,n, $$
где $\mathscr K_m(p)$ – элементарный симметрический полином степени от главных кривизн поверхности $P$ в точке $p$.
Показывается теорема о представлении интегральных кривизн $\mathscr K_m(P)$ в виде интегрального среднего по единичной сфере $S^n$ от аналогичных величин $\mathscr K_m(P_v)$, $v\in S^n$ для проекций поверхности $P$ на гиперплоскости $Q_v$, ортогональные вектору $v$,
$$ \mathscr K_m(P)=C_{n,m}\int_{S^n}\mathscr K_m(P_v)\,d\sigma_v, $$
где $C_{n,m}$ – некоторая постоянная, зависящая от $n$ и $m$.
Наглядно величину $\mathscr K_m(P_v)$ можно представлять следующим образом. Проекцию $P_v$ можно рассматривать как “сплющенную” в плоскости $Q_v$ поверхность $P$ (некий аналог римановых поверхностей). Тогда $\mathscr K_m(P_v)$ есть интегральная кривизна $(m-1)$-го порядка по ребрам образовавшихся складок.