К гомологической классификации моноидов

Пусть $S$ – моноид, $A$ – правый $S$-полигон и $M$ – левый $S$-полигон. Фактормножество прямого произведения $A\times M$ множеств $A$ и $M$ по отношению эквивалентности, порожденному отношением $(as,m)\equiv(a,sm)$, $a\in A$, $m\in M$, $s\in S$, называется тензорным произведением $A\otimes_S M$ полигонов $A$ и $M$. Если левый $S$-полигон $M$ зафиксировать, то $\otimes_S M$ оказывается функтором из категорий всех правых $S$-полигонов в категорию множеств. Левый $S$-полигон $M$ называется плоским, если функтор $\otimes_S M$ сохраняет мономорфизмы.
Теорема 1. Если S – вполне регулярный инверсный моноид, то все левые (правые) $S$-полигоны плоские.
Теорема 2. Следующие свойства коммутативного моноида $S$ эквивалентны: 1) все $S$-полигоны плоские; 2) все конечнопорожденные $S$-полигоны плоские; 3) все циклические $S$-полигоны плоские; 4) $S$ – регулярный моноид.
Левый $S$-полигон $M$ называется сильно плоским, если функтор $\otimes_S M$ сохраняет уравнители и коуниверсальные квадраты. Всякий левый сильно плоский полигон является плоским (лемма 2), а всякий проективный полигон – сильно плоским (лемма 3).
Все левые циклические $S$-полигоны являются сильно плоскими (проективными) тогда и только тогда, когда $S$ является либо единичной группой, либо двуэлементным моноидом с нулем (теорема 4). Все (все конечнопорожденные) левые $S$-полигоны являются сильно плоскими тогда и только тогда, когда $S$ – единичная группа.