О разложимости последовательностей подмножеств топологического пространства

С помощью гипотезы континуума доказывается существование бикомпакта $S$ и такой последовательности $\{\Gamma_n\}$ ($n\in N$) попарно не пересекающихся нигде не плотных нуль-множеств в $S$, что $\bigcup_{n\in N}\Gamma_n$ всюду плотно в $S$, но для любого разбиения множества $N$ натуральных чисел на непересекающиеся подмножества $N'$ и $N''$ одно из двух объединений $\bigcup_{n\in N''}\Gamma_n$ или $\bigcup_{n\in N'}\Gamma_n$ обязательно нигде не плотно в $S$. За $S$ можно взять стоунов бикомпакт булевой алгебры $\mathfrak{A}/I$, где $\mathfrak{A}$ – булева алгебра всех подмножеств множества мощности $\aleph_1$, а $I\ne\mathfrak{A}$ – произвольный $\sigma$-идеал в $\mathfrak{A}$, содержащий $\sigma$-идеал всех не более чем счетных подмножеств.