Об одном $S$-изоморфизме групп, порождаемых элементами бесконечного порядка

Взаимно однозначное отображение $\varphi$ группы $G$ на группу $\varphi(G)$ называется $S$-изоморфизмом группы $G$, если множество $S$ элементов из $G$ является смежным классом группы $G$ тогда и только тогда, когда множество $\varphi(S)$ – смежный класс группы $\varphi(G)$. Если, кроме того, $\varphi$ единицу группы $G$ переводят в единицу группы $\varphi(G)$, то $\varphi$ называют естественным $S$-изоморфизмом группы $G$.
Известно, что для локально нильпотентных групп без кручения, для смешанных абелевых групп ранга $r\ge2$ и некоторых других классов групп, порождаемых элементами бесконечного порядка, любой естественный $S$-изоморфизм является групповым изоморфизмом или антиизоморфизмом. Однако уже смешанные абелевы группы ранга $r=1$ имеют естественный $S$-автоморфизм, отличный от группового автоморфизма. Интересно поэтому выяснить, при каких дополнительных разумных ограничениях любой естественный $S$-изоморфизм групп, порождаемых элементами бесконечного порядка, будет групповым изоморфизмом или антиизоморфизмом. Одно из возможных решений этой задачи и приводится в данной статье. Основной результат: если группа $G$ порождается элементами бесконечного порядка и $\varphi$ естественный $S$-изоморфизм $G$ такой, что $\varphi(aH)=\varphi(a)\varphi(H)$ ($\varphi(aH)=\varphi(H)\varphi(a))$ для любого элемента $a$ и любой подгруппы $H$ из $G$, то $\varphi$ – групповой изоморфизм (антиизоморфизм).