Функция порядков и шкалы роста целых функций многих переменных

Рассматривается класс $\mathfrak M_n$ целых функций от $n$ комплексных переменных:
$$ \mathfrak M_n=\bigl\{f(z)=f(z_1,\dots,z_n):0<\varlimsup_{t\to\infty} t^{-1}\Phi_f(t,\dots,t)<+\infty\bigr\}, $$
где
$$ \Phi_f(r_1,\dots,r_n)=\ln^{+}\ln^{+}\max_{|z_i|\leq r_i}|f(z)|. $$

Для этого класса предлагается следующая шкала роста: $Q_n=\{\exp(\exp(\varphi(\widetilde{r}))),\varphi\in Y\}$, где $Y$ – класс функций в $R^n$, неотрицательных, выпуклых, неубывающих по каждой переменной, положительно однородных степени 1, причем $0\notin Y$; $\widetilde{\varphi}(r)$ – непрерывное продолжение в $R^n_+=\{x\in R^n: x_i\geq0\}$ функции $\varphi(\ln r_1,\dots,\ln r_n)$. Для $\forall$ функции $f(z)\in\mathfrak M_n$ $\exists$ единственная функция $\exp(\exp(\widetilde\rho_j(r)))$, асимптотически эквивалентная $f(z)$ в определенном смысле, где $\rho_f(u)=\varlimsup\limits_{t\to\infty}t^{-1}\Phi_f(e^{u_1t},\dots,e^{u_nt})$ – функция порядков роста для $f(z)$. Наоборот, для $\forall$ функции $\varphi(u)$ класса $Y$ $\exists$ целая функция $f(z)\in\mathfrak M_n$ такая, что $\rho_f(u)\equiv \varphi(u)$.