Об одной экстремальной задаче для квазиконформных отображений конечносвязных областей

Пусть $S_q(D,a,b)$ – класс $q$-квазиконформных гомеоморфизмов $w=f(z)$ ограниченной $(n+1)$-связной области $D$ плоскости $z$, гомотопных тождественному отображению и принимающих в заданных точках $a_*,a_0,\dots.a_m$ из $D$ заданные конечные значения $b_*,b_0,\dots,b_m$ соответственно: $a=(a_*,a_0,\dots,a_m)$, $b=(b_*,b_0,\dots,b_m)$, $m\geq0$. Рассматривается задача максимизации в классе $S_q(D,a,b)$ действительного функционала $F[f]=F(w_1,\dots,w_N)$, где $w_s=f(z_s)=u_s+i v_s$, $s=1,\dots,N$, $z_s$ – фиксированные точки области $D$, отличные от $a_*,a_0,\dots,a_m$, a $F$ непрерывно дифференцируема по $u_s,v_s$, причем $\sum\limits_{s=1}^N|F_{w_s}|>0$. Устанавливается вид комплексной характеристики отображения, обратного экстремальному, доказывается, что некоторая экстремальная функция $w=f_0(z)$ отображает область $D$ на плоскость $w$ с разрезами по конечному числу аналитических дуг, которые являются траекториями поля направлений больших осей характеристических эллипсов отображения $z=f^{-1}_0(w)$.