О некоторых теоремах в теории мультиоператорных алгебр

Определено понятие “хорошей” теории свободных разложений в категории $\mathscr K$, подчиненной категории множеств. Доказано достаточное условие, при котором из хорошей теории в одной категории $\mathscr K$ следует хорошая теория в другой категории $\mathscr K^\circ$, связанной с категорией $\mathscr K$ такими функторами $Q\colon\mathscr K\to\mathscr K^\circ$, $Q^\circ\colon\mathscr K^\circ\to\mathscr K$, что $Q^\circ Q=I\colon\mathscr K^\circ\to\mathscr K^\circ$ – тождественный функтор. Этот результат применяется к многообразию $\mathscr K$ всех линейных $Q$-алгебр над полем $k$ и многообразию $\mathscr K^\circ$ линейных $\Omega$-алгебр с системой тождеств $\Theta$ вида $x_1\dots x_n\omega=\alpha x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(n)}\omega$ ($\sigma$ – подстановка $n$-й степени). Оказывается, что при некотором ограничении на характеристику поля $k$ теория свободных разложений в многообразиях коммутативных и антикоммутативных алгебр (А. И. Ширшов, Матем. сб., 34 (1954), 81–88; А. Т. Гайнов, Сиб. матем. ж., III (1962), 805–833) и вообще теория свободных разложений в многообразии линейных $\Omega$-алгебр с тождествами $\Theta$ (С. В. Полин, Успехи матем. наук, 24 (1969) 17–24; М. С. Бургин, Изв. АН СССР, 34 (1970), 977–999) является следствием теории свободных разложений в многообразии всех линейных алгебр (А. Г. Курош, Матем. сб., 37 (1955), 251–264; Сиб. матем. ж., 1 (1960), 62–70). Из теоремы Ц. Е. Дидидзе (Сообщ. АН Груз.ССР, 50 (1968), 531–534) следует теорема о подалгебрах $\Theta$-свободного произведения $\Theta$-алгебр с объединенной подалгеброй.