О применении неравенства Лоясевича к теории релаксационных процессов

Для исследования релаксационных процессов применяется неравенство Лоясевича (РЖМат., 1965, 1А344). Используется подход, развитый Ю. И. Любичем и Г. Д. Майстровским (РЖМат., 1970, 7Б774). Пусть $\varphi(x)$ ($x\in R^n$) – гладкая функция, $\nabla\varphi(x)$ удовлетворяет условию Липшица: $\|\nabla\varphi(x+h)-\nabla\varphi(x)\|\leq M\|h\|$. Релаксационным процессом для $\varphi(x)$ называется последовательность $\{x_k\}_0^\infty$ $x_{k+1}=x_k-\gamma_k\|\nabla\varphi(x_k)\|g_k$, $\|g_k\|=1$ такая, что $\varphi(x_{k+1})\leq\varphi(x_k)$. Процессы градиентного типа выделяются условием $\gamma_k(\cos\theta_k-1/2 M\gamma_k)\geq\beta>0$ ($\theta_k$ – угол релаксации). Предполагается, что существует .предельная точка $z$, $\varphi(z)=0$. Доказана теорема: Пусть $\varphi(x)$ ($x\in R^n$) – вещественно-аналитическая функция. Тогда релаксационный процесс градиентного типа сходится. Эта теорема – непосредственное следствие неравенства Лоясевича и леммы: Пусть в некоторой окрестности предельной точки $z=0$ справедливо неравенство $\|\nabla\varphi(x)\|\geq \Phi(|\varphi(x)|$, где функция $\Phi(t)$ ($t\geq0$) строго возрастает, $\Phi(0)=0$ и
$$ \int_0^\varepsilon\frac{dt}{\Phi(t)}<\infty\quad (\varepsilon>0). $$

Тогда релаксационный процесс градиентного типа сходится к точке $z=0$. Для $n=2$ указанная теорема была получена А. М. Островским (РЖМат., 1968, 6Б834).