Об одной задаче оптимального управления линейной неоднородной системой

Рассматривается система управления, описываемая дифференциальным управлением вида
\begin{equation} \frac{dx}{dt}=A^x+b\sigma+f(t). \label{1} \end{equation}
Здесь $x$ – вектор (порядка $n$) состояния системы, $\sigma=\sigma(x,t)$ – вектор-функция (порядка $m$) управления системой $A$ и $b$ – постоянные $n\times n$ и $n\times m$-матрицы, $f(t)$ – вектор-функция возмущения порядка $n$. Предполагается, что пара $(A,b)$ управляема и $|f(t)|\in L_2(0,T)$, где $T>0$ – некоторое фиксированное число. Рассматривается задача оптимального перевода системы (1) за фиксированное время $T$ из состояния $x(0)=a$ в начало координат. Критерий качества допустимых управлений $\sigma=\sigma(x,t)$ определяется функционалом
$$ J(\sigma)=\int_0^T[F(x,\sigma)+2\sigma^*u(t)+2x^*v(t)]\,dt, $$
где $F(x,\sigma)$ квадратична я форма, причем матрица формы $F(0,\sigma)$ положительно-определенная; $u(t),v(t)$ – функции порядков $m$ и $n$ и $|u(t)|,|v(t)|\in L_2(0,T)$; $x=x(t)$ – решение уравнения (1), $x(0)=a$. Получены достаточные частотные условия существования оптимального управления. Показано, что при выполнении частотного условия оптимальное управление имеет вид
$$ \sigma_0=c^*x-\varkappa^{-1}u(t)-\frac12\varkappa^{-1}b^*e^{-(A+bc^*)} [h_0-2\gamma(t)], $$
где $c$ – матрица (размерности $n\times m$), $h_0$ – вектор (порядка $n$), $\gamma(t)$ – вектор-функция порядка $n$. Для определения оптимального управления приведено две процедуры.