Оценки искажения квазиконформного отображения в пространстве типа $C^m_\alpha$

Изучаются свойства квазиконформного отображения $f$ круга $U=\{|z|<1\}$ на $U$ с характеристикой $\mu$, когда $\mu$ принадлежит $C^m_\alpha(\bar U)$ или некоторому более общему пространству (когда $\mu$ и ее производные терпят разрыв типа скачка на конечном числе гладких дуг).
Доказывается, что гладкость отображения $f$ будет на порядок выше, если норма $\mu$ в соответствующем пространстве достаточно мала. При этом норма искажения $f(z)-z$ имеет равномерную оценку . В качестве следствия установлена оценка искажения $f(z)-z$ в норме $C^m_\alpha(\bar G)$ для функции, осуществляющей нормированное конформное отображение на круг $U$ области $G$ с границей соответствующей гладкости и близкой к кругу.