Продолжение непрерывных отображений и факторизационная теорема

В работе рассматривается факторизационная теорема и ее связь с известной задачей продолжения отображений $f\colon A\to Y$ с замкнутых множеств $A$ топологических пространств $X$.
Доказывается следующая факторизационная теорема.
Теорема. {\it Для любого пространства $X$ из класса $T_\alpha$, $\alpha=7/2,4,5,6$ и любого отображения $f\colon A\to Y$, где $A$ – вполне-замкнуто в $X$, в данное метризуемое пространство $Y$ из соответствующего класса $M_\alpha$ существуют отображения $g\colon X\to Z$ и $h\colon B\to Y$, удовлетворяющие следующим условиям:
а) $Z$ – метризуемое пространство, а $B$ – замкнутое его подмножество;
б) $gA^Z$ и $f=h|_{gA}\circ g|_A$;
в) $w(Z)\leq w(Y)$;
г) $\operatorname{dim}(Z\setminus B)\leq\operatorname{rd}_X(X-A)$. }
Где $T_{7/2}$ класс вполне-регулярных, $T_4$ – нормальных, $T_5$ – коллективно-нормальных, $T_6$ – одновременно паракомпактных и перистых пространств, а $M_{7/2}$ – класс метризуемых компактных, $M_4$ – метризуемых сепарабельных полных по Чеху, $M_5$ – метризуемых полных по Чеху, $M_6$ – любых метризуемых пространств. Через $w$ обозначается вес пространства, через $\operatorname{dim}$ – размерность., определенная с помощью покрытий, а через $\operatorname{rd}_X$ обозначается следующая размерностная характеристика:
Определение. Относительная размерность $\operatorname{rd}_X H$ открытого в $X$ множества $H$ по пространству $X$ равна $\sup\limits_{F\subseteq H}\operatorname{dim}(\beta F)$, где верхняя грань берется по всем вполне-замкнутым в $A$ множествам $T$, лежащим в $H$.
Во второй части работы доказывается, что в пределах метризуемых пространств классы $M_\alpha$, $\alpha=4,5$ состоят в точности из тех пространств $Y$, для которых выполняется факторизационная теорема для пространств $X$ из соответствующего класса $M_\alpha$.
Ограничительная теорема. Если для метризуемого пространства $Y$ справедлива факторизационная теорема для всех пространств $X$ класса $T_\alpha$, где $\alpha=4,5$, то $Y$ принадлежит соответствующему классу $M_\alpha$.
Доказывается также следующая теорема:
Теорема 1. Выпуклые множества банаховых пространств являются абсолютными экстензорами в классе пространств, являющихся одновременно паракомпактными и перистыми.
В качестве следствия факторизационной теоремы получается следующее обобщение теоремы Куратовского–Дугунджи:
Теорема 5. Чтобы для всякого одновременно паракомпактного и перистого пространства $X$ всякое отображение $f\colon A\to Y$ в данное метризуемое пространство $Y$, где $A$ – замкнуто в $X$, a $\operatorname{rd}_X(X\setminus A)\leq n+1$, можно было продолжить в отображение $F\colon X\to Y$ (соответственно, $F\colon OA\to Y$) необходимо и достаточно, чтобы $Y$ было связным и локально-связным (соответственно, локально-связным) в размерности $n$.