О точных барьерах в задаче с косой производной

Приводятся условия, при выполнении которых угловая точка области является регулярной или нерегулярной для соответствующей краевой задачи.
Пусть $V=\{x:r(x)<1,\varphi_-<\varphi(x)<\varphi_+\}$ – угловой сектор в евклидовой плоскости $E=\{x=(x_1,x_2)\}$, где $r(x)$, $\varphi(x)$ полярные радиус и угол точки $x$, $\varphi_+,\varphi_-\in[0,2\pi]$ и пусть в $V$ задан эллиптический оператор $\mathscr L=a_{ij}(x)\partial^2/\partial x_i\partial x_j-c(x)$ с измеримыми коэффициентами $a_{ij}(x)$, $c(x)$, причем
\begin{gather} \sup_{x\in V}[a^{-1}_{11}(x)+a^{-1}_{22}(x)+a_{11}(x)+a_{22}(x)+c(x)]<\infty, \notag\\ 0\leq\varepsilon[a_{11}(x)+a_{22}(x)]|\lambda|^2\leq \sum_{i,j=1}^2a_{ij}(x)\lambda_i\lambda_j, \quad c(x)\geq c_0 \notag \end{gather}
при всех $x\in V$, $\lambda\in E$, где $0<\varepsilon<1/2$, $c_0$ – фиксированы. Пусть далее на отрезках лучей $\Gamma_{\pm}=\{x:\varphi(x)=\varphi_{\pm},|x|<1\}$ заданы дважды непрерывно дифференцируемые векторные поля $l_{\pm}(x)$ и $|l_{\pm}(x)|\equiv1$.
Рассматривается решение задачи $\mathscr L u=0$ в $Y$, $\dfrac{\partial u}{\partial l_{\pm}}=0$ на $\Gamma_{\pm}$, $u=\varphi$ при $|x|=1$, $u(0)=\varphi(0)$, где $\varphi$ – некоторая заданная непрерывная функция. Существование непрерывного решения этой задачи связано с регулярностью точки $0$. Доказываются четыре теоремы, которые дают достаточные условия для регулярности или нерегулярности угловой точки в терминах некоторых неравенств, связывающих $\varepsilon$ и углы $\beta_{\pm}(x)$ наклона $l_{\pm}(x)$ к $\Gamma_{\pm}$. В случае, когда $\beta_{\pm}(x)$ не зависит от $x$ эти условия являются необходимыми и достаточными в рассматриваемом классе операторов.