Асимптотические разложения для распределения времени пребывания случайного блуждания в отрезке

Пусть $\xi_1,\xi_2,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин, $\mathrm{M}\xi_1=0$. Предполагается, что выполнено условие Крамера: производящая функция $\mathrm{M}\lambda^{\xi_1}$ аналитична в некотором круговом кольце, строго содержащем единичную окружность $|\lambda|=1$. Рассматривается функционал $\eta_n=\sum\limits_{k=0}^n f(\zeta_k)$, где $\zeta_n=\zeta_0+\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$, $n\geq1$, $f(x)=1$ при $x=0,1,\dots,N$ и $f(x)=0$ при $x\neq0,1,\dots,N$. Пусть $\tau_n=\min\{k:k>n,\zeta_k\in[0,N]\}$ и $\widehat\zeta_n=\zeta_{\tau_n}$.
Получены двупараметрические асимптотические разложения для вероятностей
\begin{align} &\mathbf{P}(\eta_n=k,\widehat\zeta_n=j/\zeta_0=i), \notag\\ &\mathbf{P}\{\eta_n\geq k,\widehat\zeta_n=j/\zeta_0=i\},\quad i,j=0,\dots,N, \notag \end{align}
при $n\to\infty$ и $k\to\infty$, так что $\lim\limits_{n\to\infty}k/n=\alpha$, $0\leq\alpha<1$.